Cut finite element discretizations of cell-by-cell EMI electrophysiology models

The EMI (Extracellular-Membrane-Intracellular) model describes electrical activity in excitable tissue, where the extracellular and intracellular spaces and cellular membrane are explicitly represented. The model couples a system of partial differential equations in the intracellular and extracellular spaces with a system of ordinary differential equations on the membrane. A key challenge for the EMI model is the generation of high-quality meshes conforming to the complex geometries of brain cells. To overcome this challenge, we propose a novel cut finite element method (CutFEM) where the membrane geometry can be represented independently of a structured and easy-to-generated background mesh for the remaining computational domain. Starting from a Godunov splitting scheme, the EMI model is split into separate PDE and ODE parts. The resulting PDE part is a non-standard elliptic interface problem, for which we devise two different CutFEM formulations: one single-dimensional formulation with the intra/extracellular electrical potentials as unknowns, and a multi-dimensional formulation that also introduces the electrical current over the membrane as an additional unknown leading to a penalized saddle point problem. Both formulations are augmented by suitably designed ghost penalties to ensure stability and convergence properties that are insensitive to how the membrane surface mesh cuts the background mesh. For the ODE part, we introduce a new unfitted discretization to solve the membrane bound ODEs on a membrane interface that is not aligned with the background mesh. Finally, we perform extensive numerical experiments to demonstrate that CutFEM is a promising approach to efficiently simulate electrical activity in geometrically resolved brain cells.Comment: 25 pages, 7 figure

Cut finite element methods for modeling excitable cells

EMI (Ekstracellulær-Membran-Intracellulær) modellen beskriver elektrisk aktivitet i hjerneceller, og representerer både de ekstracellulære og intracellulære områdene og cellemembranen eksplisitt. Modellen kobler et system av partielle differensiallikninger (PDE) på de intracellulære og ekstracellulære områdene med et system av ordinære differensiallikninger (ODE) på membranen for å beskrive forplantningen av elektrisk potensial i hjerneceller. PDE-ODE systemet er ikke-trivielt og må bli løst ved hjelp av numeriske metoder som f.eks. elementmetoden. En stor utfordring for EMI modellen er generering av høykvalitetsnett som skal tilsvare de kompliserte geometriene til hjerneceller. En mulighet for å løse denne utfordringen er ikke-romlige tilpassede elementmetoder, som f.eks CutFEM, som tillater at geometriene er representert uavhengig av beregningsdomenet. I denne oppgaven foreslår vi en ny CutFEM basert diskretisering for å løse EMI modellen numerisk. EMI modellen er splittet i separate ODE og PDE problem ved hjelp av Godunov splitting. Det resulterende PDE problemet er et ikke-standard elliptisk grenseflateproblem som vi foreslår to nye CutFEM formuleringer for. Den første formuleringen, kalt den likedimensjonale primale formuleringen, beregner de intracellulære og ekstracellulære potensialene. Vi beviser at denne formuleringen oppfyller både kondisjonstallestimat og optimale a priori feilestimat som er geometrisk robuste, som betyr at de ikke er sensitive til hvordan membrangeometrien er plassert i beregningsdomenet. Den andre formuleringen, kalt den flerdimensjonale primale formuleringen, inkluderer strøm over cellemembranen i tillegg til de elektriske potensialene som fører til at den har samme form som et sadelpunktsproblem. Vi beviser at ved å legge til passende stabilisering tilfredsstiller denne formuleringen en geometrisk robust inf-sup betingelse som tillater oss å vise ett a priori feilestimat for diskretiseringsfeilen for strømmen over membranen og de ekstra/intracellulære potensialene. Etterpå introduserer vi en ny ikke-romlig tilpasset diskretisering for ODE problemet, som tillater ODE systemer å bli løst på membrangrenseflaten uten å tilpasse nettet. Til slutt utfører vi omfattende numeriske studier som underbygger de teoretiske resultatene og demonstrerer at CutFEM er en lovende metode for effektiv simulering av elektrisk aktivitet i hjerneceller